Коротко: рассматриваем симметричное твердое тело (оси 1=2, ось симметрии 3) с моментами инерции $I_1=I_2$, $I_3$. Движение описывается уравнениями Эйлера (в теле):
$$I_1{\dot{\omega }}_1-(I_1-I_3){\omega }_2{\omega }_3=M_1,I_1{\dot{\omega }}_2+(I_1-I_3){\omega }_1{\omega }_3=M_2,$$ $$I_3{\dot{\omega }}_3=M_3,$$ где $\mathbf{\omega }=({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3)$, ${\mathbf{M}}_{ext}=(M_1,M_2,M_3)$ — внешний момент, ${\mathbf{M}}_{fric}$ добавляется в правые части как отрицательная составляющая по отношению к движению (например вязкое трение $M_3^{fric}=-c{\omega }_3$ или сухое $M_3^{fric}=-M_c\mathrm{sgn}{\omega }_3$).
1) Устойчивое (обычно начальное) состояние — «жёсткая» прецессия при малом внешнем моменте, если выполнено приближение гироскопа. Для перпендикулярного внешнего момента величины связываются соотношением
$${\Omega }_p=\frac{M_{\perp }}{L\sin \theta }\approx \frac{M_{\perp }}{I_3{\omega }_3},$$ где ${\Omega }_p$ — скорость прецессии, $\theta$ — угол между осью 3 и направлением момента, $L\approx I_3{\omega }_3$. Условие применимости гироскопического приближения — прецессионная частота мала по сравнению со скоростью собственного вращения:
$${\Omega }_p\ll {\omega }_3⟺M_{\perp }\ll I_3{\omega }_3^2.$$
2) Энергетика. Кинетическая энергия
$$E=\frac{1}{2}{I}_1({\omega }_1^2+{\omega }_2^2)+\frac{1}{2}{I}_3{\omega }_3^2.$$ Её изменение задаётся работой моментов:
$$\dot{E}={\mathbf{M}}_{ext}\cdot \mathbf{\omega }+{\mathbf{M}}_{fric}\cdot \mathbf{\omega }.$$ - Если внешний момент перпендикулярен мгновенной оси вращения (как у классического груза на конце топа), его работа в стационарной прецессии часто мала/нулева; потеря энергии происходит главным образом за счёт трения.
- В общем внешний момент может подводить энергию и компенсировать диссипацию, что ведёт к установившемуся режиму, где вводимая мощность равна рассеиваемой.
3) Поведение при постепенном увеличении внешнего момента $M$:
- Малые $M$ (гироскопический режим): прецессия усиливается по закону ${\Omega }_p\approx M/(I_3{\omega }_3)$, угловая скорость оси сохраняет порядок, трение вызывает медленное затухание ${\omega }_3(t)$ (для вязкого трения ${\omega }_3\sim e^{-ct/I_3}$).
- Увеличение до критической величины, когда
$$M\sim I_3{\omega }_3^2\text{или}{\Omega }_p\sim {\omega }_3,$$ гироскопическое приближение рушится: прецессия перестаёт быть «медленной», возникают заметные наведённые компоненты ${\omega }_1,{\omega }_2$ и появляется нутирование. Амплитуда качаний растёт, возможна резонансная передача энергии с вращения вокруг 3 в орбитальные/конусные движения (натуральная частота малых колебаний примерно ${\omega }_n\sim {\omega }_3\sqrt{(I_3-I_1)/I_1}$ для небольших углов).
- При ещё большем $M$ или при дальнейшем торможении ${\omega }_3$ тело уходит в сложное движение: большие нутирования, переход в режим кувыркания/переворота или хаотическая (турбулентная) ориентация, особенно если тело асимметрично. В пределе малого ${\omega }_3$ поведение определяется геометрией инерции и внешним моментом — возможна стойкая ориентация вдоль/против момента или нерегулярное вращение.
4) Режимы затухания (в зависимости от модели трения и силы момента):
- Вязкое трение + малый/умеренный $M$: экспоненциальный спад ${\omega }_3$, прецессия замедляется/ускоряется в соответствии с ${\Omega }_p=M/(I_3{\omega }_3(t))$; система может асимптотически прийти к «спящему» состоянию (ось выравнивается вдоль направляющего момента).
- Сухое (Кулоново) трение: может быть ступенчатая потеря вращения, остановки и внезапные переходы в другие режимы; возможен «прилип» оси.
- При наличии внешнего момента, подводящего энергию, возникает стационарный режим, где мощность ввода уравновешивает рассеяние:
$${\mathbf{M}}_{ext}\cdot \mathbf{\omega }+{\mathbf{M}}_{fric}\cdot \mathbf{\omega }=0.$$ Такой режим может соответствовать постоянной прецессии на некотором угле $\theta$.
- При больших и/или нерегулярных $M$ — быстрый разгон прецессии, усиленное преобразование кинетической энергии в колебательную и её быстрое рассеяние; возможна переходная турбулентная «хаотизация» движения.
Краткий итог-практический критерий перехода от прецессии к сложному движению: сравнивайте гироскопический момент $I_3{\omega }_3^2$ с прикладываемым моментом $M$. Если $M\ll I_3{\omega }_3^2$ — прецессия и медленное затухание; если $M\sim I_3{\omega }_3^2$ — начало сильной нуттации и нестабильности; если $M\gg I_3{\omega }_3^2$ или ${\omega }_3$ сильно уменьшилось — сложное/хаотическое вращение или переворот. Энергия уменьшается за счёт трения, но внешний момент может либо компенсировать потери (установленное движение), либо ускорять разрушение упорядоченного вращения.