Кратко — через простую модель двух связанных колебаний (двух масс и трёх жёсткостей) объясняются все ключевые явления: нормальные моды, разветвление резонансных частот, передача энергии от одного колебателя к другому и антирезонансы (резонансное «поглощение»).
Модель и уравнения движения
- Возьмём массы $m_1,m_2$, жёсткости $k_1,k_2$ к базе и связь $k_c$; добавим демпферы $c_1,c_2$ и гармоническую силу $F{e}^{i\omega t}$, приложенную к первой массе. В частотной форме (амплитуды $X_1,X_2$):
$$\{\begin{array}{l}(-m_1{\omega }^2+k_1+k_c+i\omega c_1)X_1-k_c{X}_2=F,\\ -k_c{X}_1+(-m_2{\omega }^2+k_2+k_c+i\omega c_2)X_2=0.\end{array}$$
Нормальные моды (без демпфирования и внешней силы)
- Для собственных частот решаем детерминант:
$$\det \left(\begin{array}{cc}{k}_1+k_c-m_1{\omega }^2& -k_c\\ -k_c& k_2+k_c-m_2{\omega }^2\end{array}\right)=0.$$ - Решение даёт два собственных квадрата частот ${\omega }_1^2,{\omega }_2^2$. Например, при симметрии $m_1=m_2=m,k_1=k_2=k$:
$${\omega }_1^2=\frac{k}{m},{\omega }_2^2=\frac{k+2k_c}{m}.$$ Это — «разделение» одной частоты на два при связи.
Реакция на вынуждение и антирезонанс (резонансное поглощение)
- Решая систему через Крамерa, амплитуда первой массы:
$$X_1(\omega )=\frac{(k_2+k_c-m_2{\omega }^2+i\omega c_2)F}{D(\omega )},$$ где
$$D(\omega )=(k_1+k_c-m_1{\omega }^2+i\omega c_1)(k_2+k_c-m_2{\omega }^2+i\omega c_2)-k_c^2.$$ - Пики в модуле $X_1(\omega )$ близки к нормальным частотам ${\omega }_{1,2}$. Между ними может быть частота, где числитель минимален и $X_1$ почти обнуляется — это антирезонанс: колебания первой массы гасятся за счёт противофазных движений связанной массы (энергия «перетекает» в связанный элемент и рассеивается там).
- При наличии демпфирования энергия, перешедшая во второй колебатель, рассеивается — поэтому говорят о резонансном поглощении (ослаблении ответа первичного тела за счёт связанного и демпфированного поглотителя).
Практический расчёт и проектирование (алгоритм)
1. Модель: аппроксимировать две (или больше) доминирующие степени свободы и оценить $m_i,k_i,k_c,c_i$.
2. Найти собственные частоты из характеристического уравнения и выбрать целевую частоту для подавления.
3. Для добавочного поглотителя (тuned mass damper) подобрать массу $m_t$ и жёсткость $k_t$ так, чтобы его собственная частота ${\omega }_t=\sqrt{k_t/m_t}$ совпадала с целевой частотой структуры; выбрать демпфирование $c_t$ оптимальным (см. классические формулы Дэн Хартага для оптимального демпфирования в SDOF+TMD).
4. Оценить частотную характеристику через указанную формулу $X_1(\omega )$ и мощность рассеяния в демпфере, при необходимости скорректировать параметры.
Практические приложения контроля резонанса
- Тuned mass dampers (TMD) — защита зданий, мостов, башен от резонансных колебаний (ветер, землетрясение).
- Виброизоляция машин и опор — установка связанных поглотителей для снижения передаваемой вибрации.
- Энергетический демпфинг в мостовых балках и конструкциях (предотвращение усталостных повреждений).
- MEMS и микроэлектромеханические системы — управление резонансами для стабилизации датчиков и фильтров.
- Сбор энергии (energy harvesting) — целевое поглощение резонансной энергии для превращения её в электричество.
- Неразрушающий контроль и диагностика — изменение резонансных характеристик сигнализирует о дефектах или ослаблении связей.
Коротко о практике: для TMD часто достаточно малого соотношения массы $m_t/m\ll 1$; главное — точное совпадение настроечной частоты и адекватное демпфирование, иначе погашение будет неэффективно или сместит резонанс в нежелательную сторону.
Если нужно, могу дать численный пример расчёта амплитуд и оптимального демпфирования для конкретных чисел $m_i,k_i,k_c,c_i$.