Эта формула верна для суммы первых n членов арифметической прогрессии и доказывается следующим образом:

Пусть S_n обозначает сумму первых n членов арифметической прогрессии, а S_1 обозначает первый член данной прогрессии. Тогда имеем:

S_n = S_1 + $S_1+d$ + $S_1+2d$ + ... + $S_1+(n-1)d$,

где d - разность прогрессии.

Так как каждый член данной суммы является арифметической прогрессией, то можем записать:

S_n = nS_1 + d$1+2+...+n-1$ = nS_1 + $1+2+...+n-1$d,

где $1+2+...+n-1$ = n*$n-1$/2 - формула для суммы первых n натуральных чисел.

Таким образом, S_n = nS_1 + $n</em>(n-1)/2$d = n$S_1+(n-1)/2\ast d$.

Так как S_n = n²S_1, то окончательно получаем формулу: n²S_1 = n$S_1+(n-1)/2</em>d$.