Коротко: спутниковые высоты — эллипсоидальные $h$, нивелирование даёт ортометрические $H$, геоид даёт поправку $N$ и связаны формулой
$$h=H+N.$$
Последовательность выявления и коррекции систематического сдвига:
1) Подготовка данных:
- Сверьте системы отсчёта и тензоры приливов (вертикальные датумы, эпохи, tide systems); приведите все величины к одной системе.
- Сопоставьте точки: для каждой точки иметь $h_i^{GNSS}$, $H_i^{lvl}$, $N_i^{geo}$.
2) Вычисление невязок:
$${\Delta }_i=H_i^{lvl}-(h_i^{GNSS}-N_i^{geo}).$$
3) Первичный статистический анализ:
- Средняя систематическая ошибка:
$$\bar{\Delta }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\Delta }_i.$$ - Стандартное отклонение:
$$\sigma =\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n({\Delta }_i-\bar{\Delta }{)}^2}.$$ - Удалите выбросы итеративно (например, правило $|{\Delta }_i-\bar{\Delta }|>3\sigma$) и пересчитайте оценки.
4) Проверка пространственной структуры (смещение vs наклон):
- Подгонка плоской модели (сдвиг + наклон):
$$\Delta (x,y)=a+bx+cy,$$ оцените параметры $a,b,c$ обычным МНК. Если остаются нелинейные составляющие — оцените полином более высокого порядка или построьте поле остатков методом кригинга/сплайнов.
5) Интерпретация:
- Если доминирует константный $a$ — это вертикальный сдвиг (смещение нулевой отметки / датум).
- Если значимы $b,c$ — долгопериодный наклон геоида/ошибка в гравиметрическом поле или несовпадение опорных пунктов.
- Локальные нерегулярности указывают на ошибки локального геоида или нивелировки.
6) Применение коррекции:
- Локальная (простая) коррекция: скорректировать геоид или высоты добавлением оценённой корректирующей поверхности $\hat{\Delta }(x,y)$:
$$N^{corr}(x,y)=N^{geo}(x,y)+\hat{\Delta }(x,y),$$ или эквивалентно скорректировать ортометрические высоты:
$$H^{corr}=h-N^{corr}=h-N^{geo}-\hat{\Delta }(x,y).$$ - Для единообразия документации укажите, внесли ли поправку в $N$ или в итоговые $H$.
7) Валидация:
- Кросс‑валидация: оставьте часть пунктов невлияния при оценке, проверьте улучшение $\bar{\Delta }$ и RMS после коррекции.
- Оцените неопределённости скорректированных высот, учитывая погрешности $h$, $N$ и модельной $\mathrm{Var}(\hat{\Delta })$.
8) Дополнительные замечания:
- Убедитесь в согласовании вертикальных датумов (национальный ортометрический датум vs GNSS/ITRF) и приливных систем.
- Долговолновые расхождения могут требовать глобального приведения (коррекция низкочастотных сферических гармоник геоида).
- Документируйте все преобразования и используемые модели.
Резюме: вычислите невязки ${\Delta }_i$, оцените средний сдвиг $\bar{\Delta }$ и пространственные тренды (модель $a+bx+cy$ или более сложная поверхность), удалите выбросы, внесите $\hat{\Delta }(x,y)$ в геоид или в итоговые высоты и верифицируйте улучшение статистики.