Коротко — про суть и практику.
1) Как проекция влияет на искажения
- Любая картографическая проекция переводит поверхность эллипсоида в плоскость, и локально изменение задаётся Якобианом отображения $J$. Линейные масштабы по двум ортогональным направлениям — это сингулярные значения ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ матрицы $J$.
- Линейное (дистанционное) искажение вдоль направлений: если на поверхности расстояние $d_{ground}$, то на карте получится примерно $d_{map}=k(\mathbf{x},\theta )d_{ground}$. Для ближайших приближений можно говорить о двух главных масштабах; для конформных проекций они равны: $k(\mathbf{x},\theta )=k(\mathbf{x})$.
- Площадное искажение: равняется детерминанту Якобиана,
$$K(\mathbf{x})=|\det J(\mathbf{x})|={\sigma }_1{\sigma }_2.$$ Для конформной проекции $K=k^2$.
- Угловые (направления): сохраняются в конформных проекциях (угловая деформация = 0), полна деформация в не‑конформных.
- Практически: на масштабах от $1:25000$ до $1:1000000$ величина и характера искажений зависит ещё от площади охвата и ориентации. На очень малых участках (несколько км) почти любая «местная» проекция даёт малые искажения; на областях сотен километров выбор проекции решающий.
2) Наглядные следствия для диапазона масштабов $1:25000$ — $1:1000000$ - Для крупномасштабных карт ($1:25000$, локальные/региональные планы) важно минимизировать линейные и угловые искажения — предпочтение конформным (Transverse Mercator, локальный стереографический) или специально настроенным локальным проекциям.
- Для среднего/мелкомасштабных ($1:100000$ — $1:1000000$) часто допускается больше искажений; если важна площадь (например, анализ нагрузки на сеть по площади зон) — равновеликые проекции (Albers, Lambert Azimuthal Equal‑Area) будут лучше; если важны направления и формы (планы трасс, азимуты) — конформные остаются предпочтительнее.
3) Критерии выбора проекции для регионального транспортного планирования
Рекомендации и объяснения (коротко):
- Сохранение локальной точности линий и направлений → преимущество конформных проекций (Transverse Mercator, Lambert Conformal Conic, Oblique Mercator для коридоров). Конформность гарантирует сохранение углов и локально формы объектов.
- Ориентация и протяжённость региона:
- узкая сильно вытянутая зона по меридианам (N–S) → Transverse Mercator (UTM или локальная TM), центральная меридиана с малой зоной искажений; для UTM типично $k_0=0.9996$.
- вытянутая в широтном направлении (E–W) → Lambert Conformal Conic или Albers.
- длинный наклонный коридор (дорога/железка) → Oblique Mercator или локально сдвинутая Transverse Mercator, чтобы ось проекции шла вдоль коридора.
- Размер региона: если регион влазит в одну UTM‑зону — UTM очень удобна (широко поддерживается в ГИС, простая математика). Для больших регионов — LCC с подобранными стандартными параллелями.
- Простота вычислений и поддержка: выбирать проекции, реализованные в ГИС/библиотеках (Proj, PROJ.4, EPSG), чтобы не писать сложные формулы вручную.
- Контроль искажений: оценивать максимальный и средний масштабный коэффициент $k$ по территории; задавать допустимые пределы (например, $|k-1|$ не более нескольких промилей — уточнять по задаче). Для конформных проекций площадный фактор будет $K=k^2$.
- Возможность корректировок: использовать сеточные коэффициенты (grid scale factors) при переводе сеточных (проекционных) расстояний в реальные (геодезические) и обратно. Формула для перевода приближённо:
$$d_{map}=k{d}_{ground}\Rightarrow d_{ground}=\frac{d_{map}}{k}.$$
4) Практическая краткая инструкция (шаги)
- Определить ориентацию и протяжённость проекта (E–W или N–S, диаметр в км).
- Если протяжённость в пределах одной UTM‑зоны или небольшого региона — использовать Transverse Mercator (UTM или локальный TM). Если область широкая E–W — выбрать Lambert Conformal Conic (подобрать две стандартные параллели близко к границам зоны для минимизации макс. искажения). Для длинных коридоров — Oblique Mercator.
- Оценить и визуализировать искажения (Tissot indicatrix, карты коэффициента масштаба $k$, карты относительной погрешности расстояний по сетке) и убедиться, что максимальное отклонение $|k-1|$ укладывается в допуск проекта.
- Для точных вычислений расстояний/азимутов использовать геодезические алгоритмы (Vincenty или Karney) на поверхности эллипсоида; при необходимости применять корректировку от/к сеточному масштабу.
5) Резюме рекомендаций для транспортного планирования
- Приоритет: конформность (сохранение направлений) + минимальный линейный искажение на зоне интереса.
- Часто лучший выбор: Transverse Mercator (UTM или локальная настройка) для узких/средних регионов, Lambert Conformal Conic для протяжённых на широте областей, Oblique Mercator для диагональных коридоров.
- Оценивать искажения численно (матрица Якобиана, $k$, $K=|\det J|$, Tissot) и выбирать проекцию по критерию «максимальная ошибка измерения расстояний/азимутов ниже требуемой».
Если нужно — могу быстро подсчитать и показать карту полей масштабов $k$ и площадных искажений $K$ для вашей конкретной области (предоставьте координаты границ).