Для начала воспользуемся свойством медиан треугольника, которое гласит, что медиана делит сторону треугольника в отношении 2:1. Таким образом, можно записать, что вектор OD = 2/3 вектор BD и вектор OM = 2/3 вектор BM.

Теперь рассмотрим вектор BO:
вектор BO = вектор BD + вектор OD (по свойству медиан треугольника)
вектор BO = вектор BD + 2/3 вектор BD = 5/3 вектор BD

Также дано, что вектор BO = k * (вектор x + вектор y).

Исходя из этого, можно составить следующее уравнение:
5/3 вектор x = k (вектор x + вектор y)

Раскроем скобки и получим:
5/3 вектор x = k вектор x + k * вектор y

Так как вектор x и вектор y не коллинеарны, это означает, что их линейно независимы. Следовательно, можно записать два уравнения:
5/3 = k
5/3 = k

Ответ: k = 5/3.