Для вычисления площади треугольника ABC, нам необходимо найти длины его сторон и затем воспользоваться формулой полупериметра и площади треугольника:

Найдем длины сторон треугольника ABC:

a = √[(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2]
b = √[(x3 - x2)2 + (y3 - y2)2 + (z3 - z2)2]
c = √[(x3 - x1)2 + (y3 - y1)2 + (z3 - z1)2]

Где (x1, y1, z1) = (0,5,1), (x2, y2, z2) = (-4,2,1), (x3, y3, z3) = (7,5,-1).

a = √[(-4 - 0)2 + (2 - 5)2 + (1 - 1)2] = √[16 + 9 + 0] = √25 = 5
b = √[(7 + 4)2 + (5 - 2)2 + (-1 - 1)2] = √[121 + 9 + 4] = √134
c = √[(7 - 0)2 + (5 - 5)2 + (-1 - 1)2] = √[49 + 0 + 4] = √53

Теперь найдем полупериметр треугольника ABC:

s = (a + b + c) / 2 = (5 + √134 + √53) / 2

Наконец, вычислим площадь треугольника по формуле Герона:

S = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]

S = √[(s)(s - 5)(s - √134)(s - √53)]