Краткий вывод: на карте международных транспортных узлов видны классические признаки метапопуляционной эпидемии — хабы (авиа/порты/вокзалы) служат источниками высева в другие узлы; пространственное распространение определяется сочетанием локальной диффузии (соседних контактов), длиннохвостых перелётов и структуры городской сети. Ниже — ёмкий разбор моделей и роли факторов.
1) Основные пространственные модели (суть и формулы)
- Реакционно‑диффузионные модели (пространственная непрерывность): интенсивность заражённых $I(x,t)$ описывается
$${\partial }_{t}I=D{\nabla }^{2}I+f(S,I),$$ где $D$ — коэффициент пространственной диффузии, $f$ — локальная эпидемическая динамика (например, SIR‑тип).
- Метапопуляционные (сетевые) модели с потоками между узлами $i$:
$$\frac{d{S}_i}{dt}=-\beta \frac{S_i{I}_i}{N_i}+\sum _j(T_{ji}{S}_j-T_{ij}{S}_i),$$ $$\frac{d{I}_i}{dt}=\beta \frac{S_i{I}_i}{N_i}-\gamma I_i+\sum _j(T_{ji}{I}_j-T_{ij}{I}_i),$$ где $T_{ij}$ — поток людей из $i$ в $j$, $\beta$ — контактная скорость, $\gamma$ — восстановление/выбывание.
- Модели потоков: гравитационная и радиационная
- Гравитационная:
$$T_{ij}=k\frac{P_i^{\alpha }{P}_j^{\gamma }}{d_{ij}^{\delta }},$$ где $P$ — население/привлекательность, $d$ — расстояние.
- Радиационная (альтернатива без параметров-дистанций):
$$T_{ij}=T_i\frac{P_i{P}_j}{(P_i+s_{ij})(P_i+P_j+s_{ij})},$$ где $s_{ij}$ — население в кольце между $i$ и $j$.
- Ядра/ядровые ядровые (kernel) функции распространения: расстоятельный кернел $K(d)$, часто экспоненциальный $K(d)\propto e^{-d/\kappa }$ или степенной $K(d)\propto d^{-\alpha }$. Для авиации наблюдаются тяжёлые хвосты (многодалёкие перелёты).
2) Роль мобильности
- Хабы с большими потоками ($T_{ij}$ высоки) являются основными источниками «высева» вторичных очагов; вероятность импорта инфекции в узел $j$ от $i$ за малый интервал ≈ ${\lambda }_{ij}\propto m_{ij}{p}_i$, где $m_{ij}$ — пассажиропоток, $p_i$ — доля инфицированных в $i$.
- Суммарная интенсивность импорта в $j$:
$${\lambda }_j=\sum _i{m}_{ij}{p}_i.$$ Ожидаемое время до первого ввоза примерно $E[T_j]\approx 1/{\lambda }_j$ при пуассоновской подаче — значит уменьшение потоков напрямую увеличивает ожидаемое время прибытия.
3) Плотность городских сетей и структура городов
- В городах с высокой плотностью населения и плотными контактными сетями эффективная контактная скорость возрастает; часто моделируют зависимость $\beta \propto {\rho }^{\eta }$ (плотность $\rho$, индекс $\eta >0$).
- Топология транспортной/социальной сети важнее чистой плотности: узлы с высокой центральностью (степень, бетвининг, eigenvector) запускают более быстрые и широкие распространения; влияние супершпередатчиков усиливается в концентрированных сетях.
4) Меры контроля на границах: механизмы и эффективность
- Типы: ограничения потоков (снижение $m_{ij}$ на коэффициент $r$), скрининг прибывающих (частичная фильтрация), обязательные карантины (исключают долю прибывших из цепочки), целевые ограничения на хабы.
- Математическое влияние: при равномерном сокращении потоков на долю $r$ импортная интенсивность становится ${\lambda }_j(r)=(1-r){\lambda }_j(0)$; тогда $E[T_j](r)\approx 1/{\lambda }_j(r)$. Следовательно контроль задерживает приход линейно по $1/(1-r)$ (при пуассоновской подаче).
- Ограничения эффективны для задержки (важно для подготовки системы здравоохранения), но редко полностью предотвращают распространение из‑за асимптомных случаев и множественных путей импорта. Карантин прибывших и целевые запреты на ключевые хабы более эффективны при раннем введении.
- Тактический совет из моделей: раннее целевое ограничение хабов и перекрытие маршрутов с высоким потоком даёт больший эффект, чем мелкособовые и поздние общие ограничения.
5) Нелинейные и сетевые эффекты
- Порог перколяции/проницаемости: при определённых комбинациях потоков и локальной передачи сеть становится «сверхкритичной» и эпидемия быстро распространяется по сети.
- Весомые эффекты от редкого длинного перелёта (тяжёлые хвосты) — слабое локальное сглаживание, множественные дискретные «посевы» в удалённых узлах.
6) Выводы для интерпретации карты первого волнового распространения
- Очаги в международных транспортных узлах логично объяснить метапопуляционной моделью: высокие потоки + высокая контактная интенсивность у хабов → частые высевы.
- Оценки эффективности границ зависят от: объёма и направления потоков $m_{ij}$, prevalence в источнике $p_i$, времени внедрения мер и доли бессимптомных носителей.
- Для количественного анализа нужны данные: матрица $m_{ij}$ (рейсы/пассажиро‑потоки/мобильность мобильных операторов), локальные $N_i$, начальные $p_i$ и параметры $\beta ,\gamma$. Модель метапопуляции с реальными потоками — стандартный инструмент.
Если нужно, могу кратко записать конкретную метапопуляционную модель для ваших данных и показать, как оценить задержку ввоза при разных сценариях сокращения потоков.