Пусть AB = a, AD = b, BC = c, CD = d.

Так как BC параллельно AD, то AB = CD = a + c = b + d.

Также из условия известно, что OC = 6 см, OD = 8 см.

Найдем радиус окружности. Так как OC и OD являются радиусами окружности, а также OC + OD = CD, то радиус окружности равен половине периметра CD, который равен a + b + c + d.

Таким образом, радиус окружности равен:

r = (a + b + c + d) / 2.

Также известно, что OC = OD = r, следовательно:

a + b = 2r,
c + d = 2r.

Теперь найдем площадь трапеции ABCD. Площадь трапеции можно представить как сумму площадей треугольника AOB, треугольника BOC, треугольника COD и треугольника DOA.

S = S(AOB) + S(BOC) + S(COD) + S(DOA).

Так как AB перпендикулярно AD, то треугольники AOB и DOA являются прямоугольными треугольниками, а их площади равны:

S(AOB) = AO OB / 2,
S(DOA) = DO OA / 2.

Треугольник BOC является равнобедренным треугольником, так как радиусы окружности, проведенные к сторонам треугольника, равны радиусу окружности. Поэтому площадь треугольника BOC равна:

S(BOC) = BC * OC / 2.

Аналогично, треугольник COD является равнобедренным треугольником, и его площадь равна:

S(COD) = CD * OD / 2.

Подставим все найденные значения в формулу для площади трапеции:

S = AO OB / 2 + BC OC / 2 + CD OD / 2 + DO OA / 2.

Так как треугольник AO и треугольник DO подобны, то можно записать соотношения сторон:

OA / OB = AD / BC = b / c.

Следовательно, OB = (c * OA) / b.

Подставим это значение в формулу площади:

S = AO (c OA) / (2b) + BC OC / 2 + CD OD / 2 + DO * OA / 2.

S = c (OA^2) / (2b) + c OC / 2 + CD OD / 2 + DO OA / 2.

S = c (OA^2 + OC) / (2b) + CD OD / 2.

Подставим известные значения:

S = c (b^2 + 2b) / (2b) + (a + c) 8 / 2.

S = c (b + 2) + (a + c) 4.

Теперь найдем площадь трапеции, подставив известные значения:

S = 80 + (a + 2c) * 4.

S = 80 + (a + 2(a + c)) * 4.

S = 80 + (a + 2a + 2c) * 4.

S = 80 + (3a + 2c) * 4.

Таким образом, площадь трапеции равна 80 + 12a + 8c см^2.