Для начала найдем координаты точек N и M.

Пусть A$0,0,0$, B$1,0,0$, C$1,1,0$, D$0,1,0$, A1$0,0,1$, B1$1,0,1$, C1$1,1,1$, D1$0,1,1$.

Так как B1N:NA1=1:3, то координаты точки N можно найти как среднее арифметическое координат точек A1 и B1:

N$(0+1)/2,0,(0+1)/2$ = $1/2,0,1/2$

Так как A1M:MD1=1:1, то координаты точки M можно найти как среднее арифметическое координат точек A1 и D1:

M$0,0,(1+1)/2$ = $0,0,1$

Теперь найдем вектора BN и AM и их скалярное произведение.

Вектор BN = N - B = $1/2,0,1/2$

Вектор AM = M - A = $0,0,1$

Скалярное произведение векторов BN и AM равно произведению их длин и косинусу угла между ними:

BN·AM = |BN| |AM| cos$\alpha$

|BN| = √$$(1/2{)}^2+0^2+(1/2{)}^2$$ = √$1/2$ = √2/2

|AM| = √$$0^2+0^2+1^2$$ = 1

cos$\alpha$ = $BN\cdot AM$/$|BN|<em>|AM|$ = $1/2$/$\surd 2/2</em>1$ = 1/√2 = √2/2

cos$\alpha$ = √2/2

Итак, косинус угла α между прямыми BN и AM равен √2/2.