Для начала найдем длину большой диагонали параллелепипеда, которая равна $4\sqrt{2}$.

Используя теорему Пифагора для треугольника, образованного диагональю и сторонами основания, найдем длину большой диагонали:
$$d_{\text{большая}} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (8)^2} = \sqrt{32 + 64} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$$

Теперь найдем объем параллелепипеда. Обозначим a, b и c длины сторон основания.

Из задачи известно, что a = $4\sqrt{2}$, b = 8 и угол между сторонами 45 градусов.

Объем параллелепипеда можно найти по формуле:
$$V = abc\sin\alpha$$

Где $\alpha$ - это угол между a и b.

Так как sin 45 градусов равен $1/\sqrt{2}$, подставим известные значения:
$$V = 4\sqrt{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 128\sqrt{6} \, см^3$$

Ответ: объем прямого параллелепипеда будет равен $128\sqrt{6} \, см^3$