Ниже — обзор «вписанных четырёхугольников» на сфере: возможные определения, что из плоских утверждений остаётся верным, что — нет, и доказательства ключевых утверждений в сферической $точнее—вевклидовойтрёхмерной$ модели сферы.

Обозначения и модель. Пусть S — единичная сфера в R^3, точки A,B,C,D ∈ S будем рассматривать как векторы a,b,c,d единичной длины. Сферическое расстояние между X,Y обозначим через d$X,Y$ $врадианах$; евклидова хорда |XY| обозначается через |x−y|.

Возможные определения «вписанного $cyclic$ четырёхугольника» на сфере
$Определение1,естественное$ Четыре вершины A,B,C,D называются вписанными $concyclic$, если все они лежат на одной $сферической$ окружности, то есть на пересечении сферы с некоторой плоскостью P $этаокружностьможетбыть«большой»—greatcircle—или«малой»$.$Эквивалентноеопределение$ Существует точка O ∈ S $однаиздвухантиподальных$, такая что сферические расстояния OA = OB = OC = OD. Действительно, множество точек сферического расстояния r от O задаётся уравнением u·x = cos r $u—единичныйвекторнаправленияO$, а это плоскость в R^3; пересечение с S — окружность.$Замечание$ «Вписанность» НЕ нужно смешивать с тем, что рёбра квадрата должны быть дугами одной окружности: обычно рёбра сферического n-угольника — это дуги больших кругов $геодезические$, а вершины могут лежать на некоторой малой окружности.

Далее будем понимать «вписанный» как «concyclic в смысле 1».

Простые факты $идоказательства$ Теорема A $единственностьокружностичерезтриточки$. Через три неплечевые $неколлинеарныевсмысле«ненаоднойбольшойокружности/неантиподальные»$ точки A,B,C ∈ S проходит ровно одна сферическая окружность $пересечениеSсплоскостьюP$, т.е. ровно одна плоскость P ⊂ R^3, не проходящая через центр O = 0, содержит a,b,c.

Доказательство. Три разные точки a,b,c ∈ R^3 неколлинеарны, значит есть ровно одна плоскость P ⊂ R^3, содержащая их. Пересечение P ∩ S — искомая окружность; если P проходит через 0, то пересечение — большая окружность $возможенслучай$, если через 0 не проходит — малая окружность. $Единственностьочевидна.$

Теорема B $центрыокружности$. Через три неплечевые точки проходит окружность, и центр-«полюс» этой окружности — пересечение двух $различных$ серединных $перпендикулярных$ больших кругов — даёт ровно два антиподальных центра на S. Иначе: для трёх точек есть ровно два антиподальных точек O и −O, равноудалённых по сферическому расстоянию от всех трёх.

Доказательство. Перпендикулярные биссектрисы дуг AB и AC $втерминахбольшихкругов$ есть большие окружности $плоскости,проходящиечерез0$ и пересекаются в двух антиподальных точках.

Критерий «вписанности» для четырёх точек
Теорема C. Четыре точки A,B,C,D ∈ S лежат на одной сферической окружности ⇔ точки a,b,c,d как векторы в R^3 — копланарны, т.е. лежат в одной плоскости P ⊂ R^3.

Доказательство. Если лежат на одной окружности, то по определению окружность = S ∩ P для некоторой плоскости P, значит a,b,c,d ∈ P. Обратно, если a,b,c,d ∈ P, то P ∩ S — окружность, содержащая их.

Замечание. Это очень удобный перевод задачи о «сферическом цикле» в линейные условия в R^3.

Евклидова хорда и связь с сферическими расстояниями
Лемма. Для единичной сферы S расстояние между точками в R^3 и сферическое расстояние связаны формулой
|x − y| = 2 sin$d(x,y)/2$.
Доказательство. Если угол $центральный$ между unit-векторами x и y равен d, то |x−y|^2 = 2 − 2 cos d = 4 sin^2$d/2$.

Эта формула — ключ к переводу многих плоских теорем в сферический контекст, потому что хорды точек на окружности в R^3 подчиняются обычной евклидовой геометрии в плоскости этой окружности.

Сферический вариант теоремы Птолемея
Теорема $сферическийПтолемей$. Пусть A,B,C,D ∈ S — четыре точки на одной окружности. Тогда
sin$d(AC)/2$ · sin$d(BD)/2$ = sin$d(AB)/2$ · sin$d(CD)/2$ + sin$d(BC)/2$ · sin$d(AD)/2$.

Доказательство. Пусть P — плоскость, содержащая окружность, и рассмотрим эту окружность как обычную плоскую окружность в плоскости P $вевклидовомсмысле$. Тогда в этой плоскости выполняется плоская теорема Птолемея для евклидовых хорд:
|AC| · |BD| = |AB| · |CD| + |BC| · |AD|.
По лемме |XY| = 2 sin$d(XY)/2$. Разделив на 4 и подставив, получаем нужную формулу.

Комментарий. Это очень простая и мощная схема: многие тождественные соотношения хорд в плоскости переводятся в соотношения синусов половин сферических расстояний.

Описка классических плоских фактов: что остаётся, что нет
a) Инсайд-угол $Theinscribed-angletheorem$. Плоская теорема: в плоской окружности все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны и равны половине центрального угла. На сфере такое утверждение $длясферическихугловмеждусоседнимидугамибольшихкругов$ в общем неверно.

Пояснение/контрпример $интуитивно$. Пусть A,C лежат на некоторой малой окружности C = P ∩ S; возьмём две точки B1 и B2 на той же окружности, симметрично расположенные относительно хорды AC в той плоскости P. Планарный угол между хордой BA и BC, рассмотренный внутри плоскости P, одинаков для B1 и B2; но сферический угол в вершине B между большими кругами BA и BC равен углу между плоскостями OBA и OBC $этиплоскостипроходятчерезцентрсферыOиточкиA,B,C$. Поскольку O ∉ P $малыеокружности$, плоскости OBA и OBC отличаются от плоскости P, и их взаимный угол зависит не только от концов дуги AC, но и от положения B вдоль C. Следовательно два «вписанных» сферических угла, опирающиеся на одну и ту же дугу малой окружности, как правило не равны.

Единственный частный случай, когда сферическая версия «вписанного угла равен половине дуги» верна — это когда окружность — большая окружность $Pпроходитчерезцентр$: тогда линиями-ребрами являются дуги той же большой окружности и ситуация сводится к плоскому случаю на диаметральной плоскости.

b) Сумма противоположных углов. На плоскости у циклического четырёхугольника сумма противоположных внутренних углов равна π. На сфере это правило в общем не выполняется для сферических внутренних углов $междубольшимикругами$: нет простого общепринятого утверждения «у вписанного на сфере квадрата сумма противоположных углов = π» в общем виде. И опять же это связано с тем, что «угол» на сфере определяется через центр сферы, а не через плоскость окружности, в которой лежат точки.

c) Тем не менее: многие утверждения, формулируемые через евклидовы длины хорды, переходят через формулу |XY| = 2 sin$d/2$ — см. Птолемея выше. Также строения, основанные на копланарности точек $например,условие«четыреточкилежатнаоднойокружности»$, полностью соответствуют условию «четыре вектора копланарны в R^3».

Дальнейшие переносимые факты и полезные приёмы

Любую задачу о четырёх точках на одной окружности удобно переводить в плоскость этой окружности и работать с евклидовыми хордами $используя|XY|=2sin(d/2)$. Это позволяет переносить многие чисто метрические тождества $Птолемей,теоремыокосинусах/тенгенсахдляхорд$ напрямую.Для задач про углы нужно быть аккуратным: сферический угол в вершине определяется как угол между плоскостями, проходящими через центр сферы и соответствующими рёбрами; если окружность не великая, то «углы в плоскости окружности» и «сферические углы» не совпадают.Для доказательства существования $аналогов$ вписанного описанного круга $circumcircle$ удобно рассматривать пересечения серединных больших окружностей $great-circlebisectors$ — их пересечение даёт центр и радиус $всферическомсмысле$.

Примеры конкретных утверждений и их доказательства/опровержения

Утверждение $правдивое$. Через любые три неплечевые точки проходит единственная сферическая окружность. $Доказановыше.$Утверждение $ложноевобщем$. Если четыре точки A,B,C,D лежат на одной сферической окружности, то углы ∠ABC и ∠ADC суммируются в π. $Контрпример:возьмитемалуюокружность,выберитеBближекполюсу,D—дальше;углынебудутдополняющимися.$Утверждение $правдивое$. Если четыре точки лежат на одной окружности, то хорды удовлетворяют плоской тождественной Птолемею, что эквивалентно приведённой выше формуле с синусами половин расстояний. $Доказано.$

Заключение — рекомендации по использованию понятий

Если цель — перенести плоские теоремы про cyclic quadrilateral, то правильный рабочий перевод: «все вершины лежат на одной $сферической$ окружности = на пересечении сферы с некоторой плоскостью P». Тогда многие метрические теоремы $черезхорды$ переходят напрямую.Если цель — рассматривать свойства, связанные с углами между смежными сторонами $сферическимиуглами$, то нужно помнить: поведение отличается от плоского; «вписанный угол» в сферическом смысле НЕ опирается только на дугу окружности, а зависит и от взаимного расположения центра сферы $или,равносильно,оттого,большаяэтоокружностьилималая$.Практический приём: чтобы доказать всё, что касается длин между точками на круге, переходите в плоскость этой окружности; чтобы доказать утверждения про углы, работайте с плоскостями, проходящими через центр сферы, и используйте сферическую тригонометрию $законкосинусовдлясферическоготреугольникаит.д.$.

Если хотите, могу:

привести подробный числовой контрпример к «вписанному углу» $скоординатамиточекивычислениямиуглов$,вывести и записать сферическую версию теоремы Птолемея в удобной для вас форме $написатьиупроститьформулы$,разобрать конкретное плоское утверждение и показать, как оно переводится в сферическую задачу $сдоказательствомилиопровержением$.