Коротко: данные противоречивы. Пояснения и вычисления.

1) Из данных диагоналей (d_1=12,\ d_2=24) полуоси диагоналей: (AO=\tfrac{d_1}{2}=6,\ BO=\tfrac{d2}{2}=12). Сторона ромба
[
s=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{6^2+12^2}=\sqrt{180}=6\sqrt5.
]
Периметр ромба
[
P{\text{ромба}}=4s=24\sqrt5\approx53.665\ \text{см}.
]
Периметр одного из треугольников (например (\triangle AOB)):
[
P_{\triangle}=AO+BO+AB=6+12+6\sqrt5=18+6\sqrt5\approx31.665\ \text{см}.
]

2) Углы ромба, вычисляемые по отношениям диагоналей: так как
[
\frac{d_1}{d_2}=\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{12}{24}=\tfrac12,
]
получаем
[
\alpha=2\arctan\frac12\approx53.13^\circ,\qquad 180^\circ-\alpha\approx126.87^\circ.
]
Соответственно угол между диагональю и стороной равен либо (\tfrac{\alpha}{2}\approx26.565^\circ), либо (90^\circ-\tfrac{\alpha}{2}\approx63.435^\circ).

3) Заключение по условию «угол между диагональю и стороной равен (60^\circ)»: это несовместимо с диагоналями (12) и (24). Если бы угол между диагональю и стороной был (60^\circ), то (\alpha=120^\circ) и отношение диагоналей было бы (\cot60^\circ=\tfrac{1}{\sqrt3}) (или обратное), т.е. диагонали в отношении (\sqrt3), а не (2). Например, при одном диагонале (24) другой должен был бы быть (24/\sqrt3=8\sqrt3\approx13.856), а не (12).