Утверждение неверно.
Контрпример: выпуклый четырёхугольник со сторонами $2,1,2,1$. Тогда суммы соседних сторон равны:
$$2+1=1+2=2+1=1+2=3.$$ Однако вписать окружность в четырёхугольник можно тогда и только тогда, когда выполняется условие Пито
$$a_1+a_3=a_2+a_4,$$ а в нашем примере $2+2\ne 1+1$. Значит окружность вписать нельзя.
Правильный общий критерий: выпуклый $n$-угольник касательный (т.е. имеет вписанную окружность) тогда и только тогда, когда существуют положительные числа $x_1,\dots ,x_n$ такие, что для всех $i$ $$s_i=x_i+x_{i+1}$$ (индексация по модулю $n$).