Утверждение. Если точка $P$ лежит внутри (или на границе) треугольника $ABC$, то
$$S(PAB)+S(PBC)+S(PCA)=S(ABC),$$ поэтому сумма площадей трёх треугольников с вершиной в $P$ является постоянной. Следовательно минимум и максимум этой суммы на множестве внутренних точек достигаются в любой такой точке и равны $S(ABC)$.
Доказательство (кратко). Точки $A,B,C$ и $P$ разбивают треугольник $ABC$ на три неперекрывающихся треугольника $PAB,PBC,PCA$, причём их объединение равно $ABC$. Значит площади складываются и получаем
$$S(ABC)=S(PAB)+S(PBC)+S(PCA).$$
Дополнение. Если разрешить $P$ выходить за пределы треугольника, то при взятии абсолютных (неориентированных) площадей сумма становится больше $S(ABC)$ и при уходе $P$ на бесконечность растёт неограниченно, так что глобального максимума в этой широкой задаче нет.