Для вычисления направляющих косинусов прямой, проведенной через точку и перпендикулярной данной плоскости, нам нужно найти вектор нормали к заданной плоскости.

Уравнение заданной плоскости имеет вид: 2x + 3y + z - 4 = 0. Нормальный вектор к плоскости определяется коэффициентами этого уравнения и является вектором (2, 3, 1).

Теперь, чтобы найти вектор направления прямой, проведенной через точку (1, 2, 4) и перпендикулярной данной плоскости, можно воспользоваться следующим соотношением: вектор направления прямой будет коллинеарен вектору нормали к плоскости.

То есть вектор направления прямой будет равен к вектору нормали к плоскости, нормализованному (поделенному на длину нормального вектора).

Длина вектора нормали: |n| = √(2^2 + 3^2 + 1^2) = √(4 + 9 + 1) = √14

Таким образом, нормализованный вектор направления косинусы этой прямой будет равен: (2/√14, 3/√14, 1/√14).

Итак, направляющие косинусы этой прямой равны: 2/√14, 3/√14, 1/√14.