Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Тогда мы можем использовать следующие формулы:

a^2 + b^2 = c^2
S = a b / 2
S = c R / 2

Где S - площадь прямоугольного треугольника, R - радиус описанной окружности.

Из условия задачи мы знаем, что R = 10 см и a = 12 см.

Так как один из катетов равен 12 см, то S = 12 * b / 2. Это позволяет нам выразить b через a и S.

Подставляем найденное значение b в уравнение a^2 + b^2 = c^2 и выражаем c:

12^2 + b^2 = c^2
144 + b^2 = c^2

Подставляем найденное значение c в формулу для периметра P = a + b + c:

P = 12 + b + c
P = 12 + b + sqrt(144 + b^2)

Таким образом, чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, вписанного в окружность радиусом 10 см, достаточно найти b из выражения S = a * b / 2.