В трапеции ABCD боковая сторона AB равна диагоналиBD.Точка M середина диагонали AC. Прямая BM пересекает отрезок CDв точке E . Докажите, что BE=CE.
В трапеции ABCD боковая сторона AB равна диагоналиBD.Точка M середина диагонали AC. Прямая BM пересекает отрезок CDв точке E . Докажите, что BE=CE.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Доказательство:
Поскольку боковая сторона AB трапеции равна диагонали BD, то треугольник ABD равнобедренный AB=BDAB = BDAB=BD и у него равны углы A и B.
Так как точка M - середина диагонали AC, то AM = MC. Также, по свойству средней линии треугольника, отношение длин отрезков, соединяющих точку M с вершинами треугольника, равно 1:2. То есть, AM/MC = 1/2.
Так как AM = MC и AM/MC = 1/2, то AM = 1/3 AC и MC = 2/3 AC.
Теперь проведем прямую BM, пересекающую отрезок CD в точке E. Так как BM - медиана треугольника ABC, то отрезок CE равен 2/3 CD втораячастьдиагоналиделитсямедианойвотношении2:1вторая часть диагонали делится медианой в отношении 2:1втораячастьдиагоналиделитсямедианойвотношении2:1.
Итак, у нас получилось, что CE = 2/3 CD. Однако мы знаем, что AC = AB + BD таккаквтреугольникеABDдиагональBDравнабоковойсторонеABтак как в треугольнике ABD диагональ BD равна боковой стороне ABтаккаквтреугольникеABDдиагональBDравнабоковойсторонеAB. Из этого следует, что 3/3 AC = AB + BD = AB + DE + EC таккакCD=DE+ECтак как CD = DE + ECтаккакCD=DE+EC.
Таким образом, 3/3 AC = AB + DE + CE, откуда CE = AB + DE = BE.
Таким образом, мы доказали, что BE = CE.