Пусть у нас есть прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Длина общей части катетов на гипотенузе равна x.

Так как угол между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника равен 90 градусов, то длина общей части катетов на гипотенузе равна расстоянию от точки пересечения этой общей части с гипотенузой до центра вписанной окружности (равенство углов в центральных и внешнем углу около окружности).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Пусть точка пересечения общей части катетов с гипотенузой на расстоянии x от вершины прямого угла. Заметим, что прямой угол между гипотенузой и общей частью катетов является катетом этого треугольника, а расстояние от центра окружности до этого отрезка равно R - x.

Используя теорему Пифагора для найденного треугольника и длиной общей части катетов на гипотенузе, получим уравнение:

(R - x)^2 + (R - x)^2 = R^2,

2(R - x)^2 = R^2,

(R - x)^2 = R^2 / 2,

R - x = R / √2,

x = R - R / √2,

x = R(√2 - 1).

Таким образом, мы доказали, что длина общей части катетов на гипотенузе прямоугольного треугольника равна диаметру вписанной в треугольник окружности.