Для доказательства данной формулы воспользуемся следующими свойствами вписанной окружности в прямоугольную трапецию:

Радиус вписанной окружности касается каждой из сторон трапеции.Радиус вписанной окружности является высотой трапеции.

Пусть a - длина большего основания, b - длина меньшего основания. Рассмотрим трапецию с высотой r, радиусом вписанной окружности.

По теореме Пифагора для треугольника с вершинами в центре вписанной окружности, точке касания и одной из вершин трапеции, получаем:
r^2 + (a-r)^2 = (a+b)^2/4
r^2 + a^2 - 2ar + r^2 = (a^2 + 2ab + b^2)/4
2r^2 - 2ar = a^2 + 2ab + b^2

Выразим r из этого уравнения:
r = (a^2 + 2ab + b^2) / (2(a-b)) = ab/(a+b)

Таким образом, мы доказали, что радиус вписанной окружности в прямоугольную трапецию можно вычислить по формуле r = ab / (a+b), где a и b - длины оснований.