Пусть высота конуса равна h, а образующая равна l.

Так как осевое сечение конуса - равнобедренный прямоугольный треугольник, то мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения его катетов:
a^2 + b^2 = c^2,
где a и b - катеты, c - гипотенуза.

Так как гипотенуза равна 12 см, то имеем:
a^2 + b^2 = 12^2,
a^2 + b^2 = 144.

Так как это равнобедренный треугольник, то a = b. Пусть a = b = x, тогда:
2x^2 = 144,
x^2 = 72,
x = sqrt(72) = 6√2.

Теперь можем найти высоту конуса h и образующую l:

h = sqrt(12^2 - (6√2)^2) = sqrt(144 - 72) = sqrt(72) = 6√2 см.

Так как равнобедренный треугольник делит основание на две части, то можем найти образующую l:
l = 2 * 6√2 = 12√2 см.

Объем конуса вычисляется по формуле:
V = (1/3) π r^2 * h,
где r - радиус основания конуса.

Радиус основания конуса равен половине гипотенузы, то есть 6 см.
Теперь можем подставить все значения в формулу:
V = (1/3) π 6^2 * 6√2 = 72π√2 см^3.

Таким образом, высота конуса равна 6√2 см, образующая равна 12√2 см, а объем конуса равен 72π√2 см^3.