Для доказательства этого утверждения обозначим вершины угольника как A, B, C и D, а точку пересечения биссектрисы и диагонали как O.

Так как диагональ лежит на биссектрисе угла, то (\angle AOD = \angle BOC). Также, по условию задачи, (AO = OD) (так как угол (\angle AOD) - прямой и диагональ является медианой). Аналогично, (BO = OC).

Рассмотрим треугольники AOD и BOC. Учитывая, что (\angle AOD = \angle BOC), (AO = OD) и (BO = OC), по стороне-угол-стороне эти треугольники равны. Следовательно, (\angle OAD = \angle OBC) и (\angle ADO = \angle BCO).

Так как углы OAD и OBC смежные и их сумма составляет прямой угол, то они равны. То есть (\angle OAD = \angle OBC = 90^{\circ}), что означает, что четырехугольник ABOC является прямоугольником.

Теперь покажем, что стороны прямоугольника ABOC равны. По определению прямоугольника, у него все четыре угла прямые (равны 90 градусам). Поскольку (\angle AOD = 90^{\circ}) и диагональ AD является медианой, то треугольник AOD прямоугольный. Аналогично, треугольник BOC прямоугольный. Из предыдущих рассуждений следует, что стороны AB и BC (противоположные стороны прямоугольника) равны, как и стороны AD и DC.

Таким образом, у нас есть прямоугольник со сторонами AB, BC, CD и DA равными, то есть это квадрат. Таким образом, если диагональ прямоугольника лежит на биссектрисе угла, то прямоугольник является квадратом.