Для нахождения третьей стороны треугольника воспользуемся формулой для высоты треугольника: h = 2*(S / a), где S - площадь треугольника, a - длина стороны треугольника, h - высота, опущенная на эту сторону.

Поскольку в треугольнике две стороны равны а и в, то площадь S треугольника можно выразить через стороны а и в по формуле площади треугольника через стороны и высоту: S = (a h) / 2 + (b h) / 2 + (c * h) / 2.

Так как по условию сумма высот, опущенных на стороны а и в, равна третьей высоте, то h = (h a) / 2 + (h b) / 2.

Подставляем значение а = 4, b = 6 в уравнение для площади и решаем систему уравнений:

h = 2(S / a)
S = (a h)/2 + (b h)/2 + (c h)/2
h = (h a)/2 + (h * b)/2

Подставляем известные значения:

h = 2(S / 4)
S = (4 h)/2 + (6 h)/2 + (c h)/2
h = (h 4)/2 + (h * 6)/2

h = (1/2)S
S = 2h + 3h + c*h

S = 4h + 6h + c*h

S = 10h + c*h

Так как c = a, то S = 10h

Далее подставляем значение a и b в формулу и получаем:

S = 10h = 2(S / 4)
10h = 2(10h)
10h = 20h

Решив это уравнение, получаем значение h = 0.

Теперь найдем длину третьей стороны треугольника:

c = a = 4.

Таким образом, третья сторона треугольника равна 4.