Для начала найдем площадь треугольника AVS. Поскольку AVS - равнобедренный треугольник (так как дуги AE и AI одинаковые), тогда площадь треугольника AVS равна 1/2 AV h, где AV - основание треугольника, а h - высота треугольника. По теореме косинусов найдем значение стороны AV:
AV = √(AS^2 + VS^2 - 2 AS VS * cos 30°) = √(1 + AS^2).

Так как треугольник AVS - равнобедренный, то AS = AS = √15 / 2. Подставляем это значение в формулу и находим значение стороны AV:
AV = √(1 + (√15 / 2)^2) = √16 = 4.

Теперь найдем площадь треугольника AVS:
S[AVS] = 1/2 AV VS = 1/2 4 1 = 2.

Площадь треугольника CDE в 2 раза меньше площади четырехугольника ABDE, следовательно, S[ABDE] = 2 * S[CDE]. Площадь четырехугольника можно найти как сумму площадей треугольников AVE и SVD. Так как треугольники равнобедренные, то площадь каждого из них равна 2. Таким образом, S[ABDE] = 2 + 2 = 4.

Теперь находим площадь четырехугольника ABDE:
S[ABDE] = S[AVE] + S[SVD] = 4.

Из условия задачи площадь четырехугольника равна 4, следовательно, 4 = 4, что подтверждает наши расчеты.

Радиус окружности около треугольника AVS можно найти по формуле: R = (AV VS AS) / (4 S[AVS]), где R - радиус окружности, AV - сторона треугольника AVS, VS = AS = 1, S[AVS] - площадь треугольника AVS. Подставляем известные значения и находим радиус окружности:
R = (4 1 1) / (4 2) = 0.5.

Итак, радиус этой окружности равен 0.5.