Для начала заметим, что по условию у нас два прямоугольных треугольника с одинаковыми углами B=90° и E=90°, а значит, у них также равны углы при вершине:

∠A = ∠F,

∠C = ∠D.

Также у нас есть построенные высоты BH и EN.

Так как BH - высота в треугольнике ABC, то по определению у этого треугольника верно: AC^2 = AB * BC.

Аналогично, по определению высоты для треугольника BEF верно: BF^2 = BE * EF.

Так как у нас два прямоугольных треугольника с равными углами, то они подобны, а значит соответствующие стороны пропорциональны:

AB/BE = AC/EF,

BC/EF = AB/BE.

Подставим AC^2 = AB BC и BF^2 = BE EF в эти пропорции:

AC^2 / AB = BC / BE,

BF^2 / BE = AB / AC.

Теперь выразим AB/BE и AC/EF через соответствующие квадраты:

AC^2 / AB = BC / BE,

BF^2 / BE = AB / AC,

AC / BE = BC / AC,

BF / BE = AB / AC,

AC^2 / EF^2 = BC / AC,

BF^2 / AC^2 = AB / AC.

Так как AC / BE = BC / AC, то из данного выражения следует, что AC^2 = BC BE. Аналогично, из BF / BE = AB / AC следует, что BF^2 = AB AC. Подставляем это в пропорции:

AC^2 / EF^2 = BC / AC,

BF^2 / AC^2 = AB / AC,

BC * BE / EF^2 = BC / AC,

AB * AC / AC^2 = AB / AC.

Упрощаем:

BE = EF,

AC = BF.

Из них следует, что треугольники ABC и BEF равны.