Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с углом в вершине A равным 150 градусов.

Проведем высоты AD и BE к боковым сторонам BC и AC соответственно. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BD=DC и AE=EC.

Обозначим угол ABC как α.

Так как угол A равен 150 градусов, то угол B равен (180-150)/2=15 градусов.

Теперь вспомним свойство треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Из этого свойства следует, что угол C равен 180-150-15=15 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник ADB. Угол BAD равен 90 градусов, угол ADB равен α, а угол B равен 15 градусов. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то угол D равен 180-90-α-15=75-α градусов.

Рассмотрим теперь треугольник AEC. Угол CAE равен 90 градусов, угол ACE равен 15 градусов, а угол C равен также 15 градусов. Тогда угол E равен 180-90-15-15=60 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник ADE. Углы DAE и DEA равны, так как треугольник ADE равнобедренный. Обозначим их как β.

Из суммы углов треугольника получаем: β+β+60=180, откуда β=60 градусов.

Таким образом, углы BDE и CED равны, так как треугольник ABC равнобедренный, а угол E равен 60 градусов.

Из равенства получаем, что треугольники BDE и CED равны по двум углам и общей стороне DE. Поэтому высоты, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника с углом 150 градусов при вершине, равны.