Поскольку отрезки АВ и АС являются касательными, мы можем использовать теорему о касательной, которая гласит, что касательная, проведенная к окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Таким образом, треугольники ОВА и ОСА являются прямоугольными треугольниками. Мы знаем, что радиус окружности равен 9 см, отрезок АВ равен 12 см, значит, отрезок ОВ равен 9 см.

Теперь можем найти длину отрезка АС. По теореме Пифагора в треугольнике ОСА:

(АО)^2 + (ОС)^2 = (АС)^2

(9)^2 + (12)^2 = (АС)^2

81 + 144 = (АС)^2

225 = (АС)^2

АС = √225

АС = 15 см

Таким образом, длина отрезка АС равна 15 см.

Для нахождения длины отрезка АО можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ОВА:

(АО)^2 + (ОВ)^2 = (АВ)^2

(АО)^2 + (9)^2 = (12)^2

(АО)^2 + 81 = 144

(АО)^2 = 144 - 81

(АО)^2 = 63

АО = √63

АО ≈ 7,93 см

Таким образом, длина отрезка АО приблизительно равна 7,93 см.