Для начала найдем радиус основания конуса.

Площадь основания конуса:
S = pi * r^2

Так как угол между образующей и плоскостью основания равен 45°, то высота конуса равна:
h = r * tg(45°) = r

Таким образом, мы имеем равенство площади основания и площади боковой поверхности конуса:
S = pi r^2 = pi r * l

где l - длина образующей.

Из условия задачи известно, что длина образующей равна квадратному корню из 6:
l = √6

Теперь можем выразить радиус основания конуса через длину образующей:
pi r^2 = pi r * √6
r = √6

Теперь можем найти объем конуса:
V = (1/3) pi r^2 h = (1/3) pi (√6)^2 √6 = (1/3) pi 6 √6 = 2 pi * √6

Ответ: объем конуса равен 2 pi √6 кубических сантиметров.