Пусть радиус сферы равен r. Так как плоскость проходит через конец диаметра под углом 60 градусов к нему, то она также проходит через центр сферы и образует прямоугольный треугольник с радиусом сферы r и половиной диаметра сферы r/2.

Из условия задачи длина линии пересечения сферы и плоскости равна 5π, следовательно длина диагонали прямоугольного треугольника равна 5π. Также по теореме Пифагора имеем:
(р/2)^2 + r^2 = (5π)^2,
r^2 + 4r^2 = 25π^2,
5r^2 = 25π^2,
r^2 = 5π^2,
r = √5π.

Таким образом, диаметр сферы равен 2r = 2√5π.