Обозначим длины сторон трапеции как AB=a, BC=b, CD=c, AD=d, а также пусть OD=3x, VO=4x.

Так как точка О является точкой пересечения диагоналей, то она также является точкой пересечения медиан треугольника ABD. Значит, отношение площади треугольника ABD к площади треугольника ABC равно отношению квадратов медиан треугольников ABD и ABC:

S(ABD)/S(ABC) = (m1^2)/(m2^2),

где m1 - медиана треугольника ABD, m2 - медиана треугольника ABC.

Найдем медианы треугольников ABD и ABC.

Медиана треугольника ABD проведена из вершины B к середине стороны AD. Так как треугольник ABD правильный, то медиана m1 является биссектрисой и медианой угла ABD. Аналогично, медиана треугольника ABC проведена из вершины C к середине стороны BA. Учитывая, что треугольник ABC также правильный, медиана m2 также является биссектрисой и медианой угла ABC.

По условию, OD=3x, VO=4x. Так как треугольник ABO - прямоугольный, то приложим теорему Пифагора для нахождения длин сторон:

AB^2 + BO^2 = OA^2,
a^2 + (3x)^2 = (4x)^2,
a^2 + 9x^2 = 16x^2,
a^2 = 7x^2.

Таким образом, мы получаем, что длины сторон треугольника ABD равны:

AB = √(7)x,
BD = 2√(7)x.

Также найдем длины сторон треугольника ABC:

BC = 3x + 4x = 7x,
AC = 7x.

Теперь найдем медиану m1 треугольника ABD (биссектрису угла A) и медиану m2 треугольника ABC (биссектрису угла A):

m1 = (1/2)√(2b^2 + 2c^2 - a^2),
m2 = (1/2)√(2b^2 + 2c^2 - a^2).

Подставим значения известных длин сторон в формулы для медиан:

m1 = (1/2)√(2(7x)^2 + 2(7x)^2 - 7x)^2 = (1/2)√(98x^2 + 98x^2 - 7x)^2 = (1/2)√(196x^2) = 7x,
m2 = (1/2)√(2(7x)^2 + 2(7x)^2 - 7x)^2 = (1/2)√(98x^2 + 98x^2 - 7x)^2 = (1/2)√(196x^2) = 7x.

Таким образом, мы находим, что медианы треугольников ABD и ABC равны, и соответственно:

S(ABD)/S(ABC) = 1^2 = 1.

Отношение площадей треугольников ABD и ABC равно 1.