Обозначим длину ребра куба как а. Так как оно соединяет вершины А и D, то отрезок АD является диагональю грани куба, и его длина равна a√2.

Поскольку сечение проходит через вершины A, C1 и середину ребра DD1, то оно параллельно грани куба и является прямоугольным треугольником со сторонами AD, DC1 и DD1. Площадь треугольника можно найти по формуле S = 1/2 a√2 h, где h - высота, опущенная из вершины D на сторону AD.

Таким образом, площадь треугольника равна 1/2 a√2 h = 50√6.

Высоту h можно найти, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника DD1C1:

h = √$DC{1}^2-DD{1}^2$ = √$(a\surd 2{)}^2-(a/2{)}^2$ = √$2a^2-a^2/4$ = √$8a^2/4-a^2/4$ = √$7a^2/4$ = a√7/2.

Теперь мы можем выразить площадь треугольника через длину ребра a и решить уравнение:

1/2 a√2 a√7/2 = 50√6,

a^2 * √$14/4$ = 50√6,

a^2 * √$7/2$ = 50√6,

a^2 = $50\surd 6/\surd (7/2)$^2,

a = 50√6 / √$7/2$.

Упрощая выражение, получаем:

a = 50√6 / √$7/2$ = 50√6 / √$14$ = 50√6 / $\surd 2\surd 7$ = 50√3.

Таким образом, длина ребра куба равна 50√3.