Для нахождения радиуса описанной окружности в треугольнике ABC воспользуемся формулой, соединяющей радиус окружности, вписанной в треугольник, с радиусом описанной окружности.

Радиус описанной окружности равен половине произведения сторон треугольника, деленного на площадь треугольника. Определить стороны треугольника можно с помощью косинусов и теоремы Пифагора:

AC = 5,
BC = 2√5,
∠C = 90°

Сначала найдем сторону AB. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:
AB² = AC² + BC²
AB² = 5² + (2√5)²
AB² = 25 + 4*5
AB² = 45
AB = √45 = 3√5

Теперь можно найти площадь S треугольника ABC с помощью формулы Герона:
S = √(p(p - AB)(p - AC)(p - BC)),
где p = (AB + AC + BC)/2 = (3√5 + 5 + 2√5)/2 = (8√5 + 5)/2 = 4√5 + 5.

Тогда S = √((4√5 + 5)(4√5 + 5 - 3√5)(4√5 + 5 - 5)(4√5 + 5 - 2√5))
S = √((4√5 + 5)(√5 + 5)(5)(2√5))
S = √(40√5 + 45√5 + 25√5 + 50√5)
S = √(120√5)
S = 10√5.

Теперь можно найти радиус описанной окружности R:
R = (AB AC BC)/(4S)
R = (3√5 5 2√5)/(410√5)
R = (30√5)/(40√5)
R = 30/40
R = 3/4.

Итак, радиус описанной окружности треугольника ABC равен 3/4.