Поскольку центр окружности находится на расстоянии 13 см от вершины угла, то BC = 13 см. Так как BC является касательной к окружности, то BC перпендикулярен к радиусу окружности, проведенному к точке касания. Используя свойства касательных и радиусов окружности, получаем, что треугольник OBC - прямоугольный.

Таким образом,

BC^2 = BO^2 + CO^2,
13^2 = (5 + x)^2 + (5 + x)^2,
x^2 + 10x + 25 + x^2 + 10x + 25 = 169,
2x^2 + 20x + 50 = 169,
2x^2 + 20x - 119 = 0.

Решив квадратное уравнение, получаем x = 3. Отсюда AB = 5 + x = 5 + 3 = 8 см, AC = 5 + x = 5 + 3 = 8 см.