Обозначим образующую конуса как l и радиус основания как r.

Из условия у нас имеется треугольник, в котором один угол равен 45 градусам. Также, учитывая, что образующая l равна 9 см, можно составить следующее уравнение:

tg 45 = r / h, где r - радиус основания, h - высота конуса.

tg 45 = r / 9,
r = 9 tg 45,
r = 9 1,
r = 9 см.

Высоту конуса можно найти, используя теорему Пифагора:

h = sqrt(l^2 - r^2),
h = sqrt(9^2 - 9^2),
h = sqrt(81 - 81),
h = 0 см.

Таким образом, высота конуса равна 0, а площадь основания равна площади круга с радиусом 9 см:

S = π r^2,
S = π 9^2,
S = π * 81,
S ≈ 254,47 см^2.

Итак, высота конуса равна 0 см, а площадь его основания составляет примерно 254,47 см^2.