Дано: отрезки MN и PQ пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам, то есть MO = ON и PO = OQ.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники MOP и NOQ.Так как MO = ON и PO = OQ, то треугольники MOP и NOQ равнобедренные.Значит, углы MOP и OMP равны, а также углы NOQ и ONQ равны (соответственно стороны с равными длинами равны).Так как углы OMP и ONQ - вертикальные углы (они образуются пересекающимися прямыми MN и PQ), то они равны.Из пункта 3 и 4 следует, что углы MOR и NOQ равны.Следовательно, треугольники MOR и NOQ равны по двум сторонам и углу между ними.Таким образом, МОР=NOQ.

Таким образом, доказано, что угол МОР равен углу NOQ.