Для начала найдем сторону треугольника.

Радиус вписанной окружности равен ( r = \sqrt{3} ) см. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен отношению площади треугольника к его полупериметру: ( r = \frac{S}{p} ),
где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.

Так как треугольник равносторонний, то можно воспользоваться формулами для равностороннего треугольника:

Сторона равностороннего треугольника: ( a = \frac{2S}{h} = \frac{6S}{a\sqrt{3}} = \frac{6S\sqrt{3}}{3S} = 2\sqrt{3}S ),
где h - высота равностороннего треугольника, S - площадь равностороннего треугольника.

Складываем все стороны треугольника и находим периметр: ( P = 3a = 3 \cdot 2\sqrt{3}S = 6\sqrt{3}S ).

Значит, периметр треугольника равен ( P = 6\sqrt{3} ) см.

Площадь равностороннего треугольника: ( S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot a^2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot (2\sqrt{3}S)^2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 12S^2 = 6\sqrt{3}S^2 ).

Значит, площадь треугольника равна ( S = 6\sqrt{3} ) кв.см.