Пусть основания трапеции равны a и b, боковая сторона равна 8 см.

Так как вписанная окружность касается обеих параллельных сторон трапеции, то расстояние между ее точками касания равно сумме диаметров окружности, то есть 2*r = 10 см.

Также из свойства вписанного угла из точки касания радиуса и стороны, следует что расстояние от вершины трапеции до точки касания равно половине суммы оснований, то есть (a+b)/2.

Следовательно (a + b)/2 = 8 + 10 = 18

Из этого уравнения находим, что a + b = 36

Площадь трапеции можно найти как произведение средней линии трапеции (18) на высоту трапеции.

Так как высота t образует два треугольника, равные по размеру треугольнику, образованному средней линией трапеции, то

t^2 = r^2 + ((a-b)/2)^2

т.к. диагонали трапеции равны√((a-b)^2 + 18^2) =>

t^2 = 25 +((a-b)^2) / 4

((a-b)^2) = (4*t^2 - 100)

[a+b)^2 = 36^2 =>

((4*t^2 - 100)/4) = 36 => t = 9
значит высота h = 9, т.е. средняя линия трапеции

Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту: S = 9 * 18 = 162.

Ответ: S = 162 см^2.