Для доказательства перпендикулярности диагоналей ромба, обозначим его вершины как A, B, C, D, а середины диагоналей - как E и F.

Так как ромб имеет все стороны одинаковой длины, то он является параллелограммом, а значит, противоположные стороны параллельны.

Из этого следует, что углы между диагоналями и сторонами ромба равны между собой. Таким образом, углы BAE и EAF равны, а углы DCF и FCE равны.

Так как углы EAF и FCE смежные, и равны между собой, то они образуют прямой угол. Это означает, что диагонали ромба EF и AC перпендикулярны друг другу.

Аналогично доказывается перпендикулярность диагоналей BD и CF.

Таким образом, диагонали ромба перпендикулярны.