Диагональ куба равна диагонали его грани, которая можно найти с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю сечения куба, его ребром и его половиной диагонали.

Пусть а - длина ребра куба, тогда по теореме Пифагора:
(a^2 + a^2) = 2a^2

Таким образом, диагональ куба равна квадратному корню из 2 умноженному на a: √2a

Из условия задачи известно, что площадь диагонального сечения равна 64√2 дм². Так как площадь квадрата равна сторона в квадрате, то:

(√2a)^2 = 64√2
2a^2 = 64√2
a^2 = 32√2

Таким образом, сторона куба равна квадратному корню из 32√2. Объем куба можно найти по формуле:
V = a^3 = (32√2)^(3/2) = 32^(3/2)2^(3/2) = 322 = 64 дм³

Объем куба равен 64 кубическим дециметрам.