Объем шара, в который вписан куб, равен 4/3 π (a/√2)^3, где a - сторона куба.
Подставляя значение a=√2 получаем объем шара равный:
V = 4/3 π (√2/√2)^3 = 4/3 * π

Площадь диагонального сечения куба равна S = a^2 2, где a - сторона куба.
Объем шара равен V = S π / 6 = a^3 π / 3.
Подставляем a=√2 и получаем, что V = 2 π / 3.

Пусть диаметр шара радиуса 15 см равен D = 30 см. Тогда длины отрезков равны 2D/10, 3D/10, 5D/10, или 6 см, 9 см, 15 см.
Объем образовавшегося шарового слоя равен разности объемов двух шаров с радиусами 6 и 15 см:
V = 4/3 π (15^3 - 6^3) = 4/3 π 2959 см^3.

Для отлива шара диаметром 3 см нужно найти количество свинцовых шариков диаметром 5 мм.
Объем большого шара V1 = 4/3 π (3/2)^3 = 9π/2 см^3.
Объем одного маленького шарика V2 = 4/3 π (5/2)^3 = 125π/6 см^3.
Количество шариков N = V1/V2 = (9π/2) / (125π/6) = 27/125 = 0.216.
Ответ: нужно взять 22 шарика.