Сначала найдем длину гипотенузы треугольника abc по теореме Пифагора:
bc = √(ab^2 + ac^2)
bc = √(4^2 + 3^2)
bc = √(16 + 9)
bc = √25
bc = 5

Так как точка d делит гипотенузу пополам, то ad = dc = 5 / 2 = 2.5

Найдем площади треугольников adc и abc:
S_adc = p_adc r_adc
S_abc = p_abc r_abc

Где p - полупериметр треугольника, r - радиус вписанной окружности. Заметим, что треугольники abc и adc имеют общие высоты, а площади треугольников обратно пропорциональны радиусам вписанных окружностей.

S_adc / S_abc = r_abc / r_adc
r_abc = S_abc r_adc / S_adc
r_abc = 3/8 r_adc

Теперь найдем длину r_adc и r_abc. Рассмотрим треугольник adc - r_adcx. Так как точка d делит гипотенузу пополам, то r_adcx похож на треугольник ahdc. Периметр треугольника abc равен 3 + 4 + 5 = 12, периметр треугольника adcx равен 1/2 * 12 = 6. Райдус r_adcx равен 6 - 4 - 3 = 1. Таким образом, r_adc = 1.

Таким образом, найдем r_abc = 3/8 * 1 = 3/8

Расстояние между центрами окружностей вписанных в треугольники adc и abc равно 1/4 r_abc + 1/4 r_adc = 1/4 3/8 + 1/4 1 = 3/32 + 1/4 = 11/32.

Итак, расстояние между центрами окружностей равно 11/32.