Коротко главное: при постоянных температуре и давлении направление спонтанного процесса определяется знаком изменения энергии Гиббса (\Delta G): процесс спонтанен, если (\Delta G<0), равновесие при (\Delta G=0). Химический потенциал (\mu_i) — это частная производная Гиббса по числу молей компонента (i):
[
\mu_i=\left(\frac{\partial G}{\partial ni}\right){T,P,n_{j\ne i}}.
]
Общее дифференциальное выражение:
[
dG=-S\,dT+V\,dP+\sum_i\mu_i\,dn_i,
]
и при (dT=0,\ dP=0) имеем
[
dG=\sum_i\mu_i\,dn_i.
]

1) Смешение газов (идеальных): для идеального газа
[
\mu_i=\mu_i^\circ+RT\ln\frac{p_i}{p^\circ},
]
где (p_i) — парциальное давление. При смешении без теплообмена и работы при постоянном (T,P) изменение энергии Гиббса равно сумме изменений химических потенциалов при изменении количеств; для смешения компонентов с начальными молями (ni) получается стандартная формула:
[
\Delta G{mix}=RT\sum_i n_i\ln x_i,
]
где (x_i) — молярная доля компонента (i) в смеси. Поскольку (0<x_i<1), все слагаемые (\ln xi<0), значит (\Delta G{mix}<0) — смешение спонтанно. Физически это соответствует тому, что энтропия смешения (\Delta S_{mix}=-R\sum_i n_i\ln xi>0) даёт отрицательный вклад (-T\Delta S{mix}) в ( \Delta G=\Delta H{mix}-T\Delta S{mix}) (для идеальных газов (\Delta H_{mix}=0)).

2) Фазовые переходы: при равновесии двух фаз (\alpha) и (\beta) химические потенциалы равны:
[
\mu^\alpha(T,P)=\mu^\beta(T,P).
]
Для малой передачи вещества (dn) из фазы (\alpha) в (\beta):
[
dG=(\mu^\beta-\mu^\alpha)\,dn.
]
Если (\mu^\beta<\mu^\alpha), то (dn>0) (перенос в (\beta)) снижает (G) и переход (\alpha\to\beta) спонтанен; при равенстве (\mu) переходы не происходят (равновесие). Это даёт понятный критерий: какая фаза имеет меньший химический потенциал при данных (T,P), та и термодинамически выгоднее. Координаты равновесия фаз удовлетворяют уравнению Клапейрона
[
\frac{dP}{dT}=\frac{\Delta s}{\Delta v}=\frac{\Delta h}{T\Delta v},
]
которое вытекает из условия равенства (\mu) вдоль кривой сосуществования.

Итог: химический потенциал — локальный «потенциал» для вещества; система самопроизвольно эволюционирует так, чтобы понизить суммарный (G). Для смешения газов это выражается в отрицательном (\Delta G_{mix}) (рост энтропии), для фазовых переходов — в переходе к фазе с более низким (\mu) до тех пор, пока (\mu) фаз не сравняются.