Для начала запишем уравнение реакции, происходящей между оксидом серы~(IV) и кислородом:
[ \text{SO}_2 + \frac{1}{2} \text{O}_2 \rightleftharpoons \text{SO}_3 ]

Обозначим начальные концентрации каждого компонента реакции:
Пусть начальная концентрация SO2 равна (x), начальная концентрация O2 равна (\frac{2}{x}), а начальная концентрация SO3 равна 0 (так как при вступлении в реакцию образуется только SO3).

После вступления в реакцию 50\% кислорода, концентрации компонентов изменятся следующим образом:
SO2: (x - 2y)
O2: (\frac{1}{x} - y)
SO3: (y)

где (y) - изменение концентрации для каждого компонента реакции.

Таким образом, константа равновесия (K_c) выражается следующим образом:
[ K_c = \frac{[SO_3]}{[SO_2][O_2]} = \frac{y}{(x-2y)(\frac{1}{x}-y)} ]

Из условия задачи известно, что при равновесии степень превращения SO2 и O2 равна 50\%:
[ 0.5 = \frac{x-2y}{x} = \frac{1-y}{\frac{1}{x}} ]

Отсюда можно найти (y) и (x):
[ x = 2 ]
[ y = \frac{1}{2} ]

Подставляя найденные значения в формулу для (K_c), получаем:
[ K_c = \frac{1}{2 \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2})} = 4 ]

Таким образом, константа равновесия взаимодействия оксида серы~(IV) и кислорода равна 4.