Для того чтобы найти основание системы счисления N, необходимо разложить число 34 на сумму степеней основания N, учитывая количество цифр в числе.

Представим число 34 в виде суммы степеней основания N:

34 = aN^2 + bN + c

Где a, b, c - цифры числа 34 в системе счисления с основанием N.

Так как число 34 содержит 3 цифры, то a, b, c - это цифры сотен, десятков и единиц соответственно.

Также мы знаем, что число заканчивается на 4, значит c = 4.

Таким образом, получаем уравнение:

34 = aN^2 + bN + 4

Теперь у нас есть два уравнения и два неизвестных. Решив систему уравнений, мы найдем основание системы счисления N.

Из условия также следует, что 34 < N^3, это ограничение поможет нам найти возможные значения N.

Решая уравнения, мы найдем, что N = 6, так как a = 1, b = 5. Таким образом, основание системы счисления N равно 6.