Для решения этой задачи можно воспользоваться методом бинарного поиска.

Сначала определяем интервал, в котором находится искомый корень. В заданном случае это интервал $PI,2PI$.

Затем начинаем бинарный поиск на этом интервале. В каждой итерации вычисляем значения функции ln$ctg(x)-1$ для левой, правой и средней точек интервала.

Если значение функции в средней точке близко к a $cучетомдопустимойпогрешности$, то выводим значение x – это искомый корень.

Ниже представлена программа на Python, реализующая описанный алгоритм:

import math
def ln_ctg_minus_1$x$:
return math.log$1/math.tan(x)$ - 1
def find_root$a$:
left = math.pi
right = 2 * math.pi
epsilon = 0.0001
while right - left > epsilon:
mid = $left+right$ / 2
if ln_ctg_minus_1$mid$ < a:
left = mid
else:
right = mid
return $left+right$ / 2
a = 0.5
root = find_root$a$ print$"Rootfora=:".format(a,root)$

Программа находит корень уравнения ln$ctg(x)-1$ = a для заданного a на интервале $PI,2PI$.