Давайте попробуем решить эту задачу более систематично.

Пусть искомое трехзначное число в системе счисления по основанию 13 имеет вид "abc", где a, b и c - цифры числа.

Условие задачи означает, что число "abc" уменьшается в 13 раз после перестановки цифры a на последнее место, то есть "bca" равно "abc" деленное на 13.

Таким образом, имеем систему уравнений:
1) 13b + c = 7a
2) 13c + a = 7b
3) 13a + b = 7c

Сложим все уравнения и поделим на 6, чтобы избавиться от дробей:
13(a + b + c) = 7(a + b + c)
6a + 6b + 6c = 0
a + b + c = 0

Получается, что сумма цифр a, b и c равна нулю. Так как а, b и c - цифры трехзначного числа, они должны быть положительными целыми числами. Поэтому в данном случае решение выглядит невозможным.

Похоже, что я совершил ошибку в решении задачи. Позвольте мне внимательнее проверить выкладки.