Для начала рассмотрим выражение A⁴ + B⁴ / A⁶ + B⁶, где A и B - положительные значения. Применим неравенство Коши-Буняковского:

(A⁴ + B⁴)(A⁶ + B⁶) / (A⁶ + B⁶)² >= (A²B²)²

A⁴ + B⁴ >= 2A²B² - это будет неравенство (1).

Аналогично рассмотрим выражение B⁴ + C⁴ / B⁶ + C⁶:

B⁴ + C⁴ >= 2B²C² - это будет неравенство (2).

Теперь просуммируем неравенства (1) и (2):

(A⁴ + B⁴) + (B⁴ + C⁴) / (A⁶ + B⁶) + (B⁶ + C⁶) >= 2(A²B² + B²C²) - это будет неравенство (3).

Также, зная, что (A²B²)(B²C²) = B⁴(A²C²), получим:

2(A²B²)² + B⁴(A²C²) <= 3(A²B²C²) - это будет неравенство (4).

Теперь сложим неравенства (3) и (4):

((A⁴ + B⁴) + (B⁴ + C⁴) / (A⁶ + B⁶) + (B⁶ + C⁶)) + (2(A²B² + B²C²)) <= 3(A⁴B⁴C⁴)

Таким образом, доказано, что:

((A⁴ + B⁴) + (B⁴ + C⁴) / (A⁶ + B⁶) + (B⁶ + C⁶)) <= 1/ABC

Неравенство доказано.