Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника:

S = 0.5 a b * sin(C),

где S - площадь треугольника, a и b - длины сторон, C - угол между этими сторонами.

Из условия задачи известно, что площадь треугольника S = 49√3, угол М = 60° и сторона MN в 3 раза длиннее стороны MK.

Пусть сторона MK равна x. Тогда сторона MN равна 3x, а сторона NK (проекция стороны MN на сторону MK) равна 3x sin(60°) = 3x √3 / 2 = 3x * √3 / 2.

Теперь можем записать формулу для площади треугольника МNK:

49√3 = 0.5 x 3x √3 / 2 sin(60°),
49√3 = 0.5 x 3x √3 / 2 √3 / 2,
49√3 = 0.5 x 3x 3 / 4,
49√3 = 0.375 x^2,
49√3 * 4 / 3 = x^2,
196 = x^2.

Таким образом, длина стороны MK равна √196 = 14.

Ответ: длина стороны МК равна 14.