Для решения этой задачи можно воспользоваться принципом включения-исключения.

Всего пятизначных чисел в троичной системе счисления можно составить $3^5$ способами.

Теперь посчитаем количество пятизначных чисел, содержащих ровно 4 нуля. Это можно сделать по формуле сочетаний: $C^4_5 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = 5$ способов.

Также посчитаем количество пятизначных чисел, содержащих ровно 5 нулей. Это всего один способ.

Используем формулу включения-исключения: $3^5 - C^1_3 \cdot 3^4 + 1 = 243 - 5 \cdot 81 + 1 = 243 - 405 + 1 = -161 + 1 = 82$

Итак, существует 82 пятизначных чисел в троичной системе счисления, содержащих не более трех нулей.