Обозначим вес Кота в сапогах до новогодних праздников как $x$ граммов.

Вес Кота в сапогах 10 января составил на 20% больше, чем его вес до праздников:
$$x+0.2x=1.2x\text{граммов.}$$

После диеты вес Кота уменьшился на 20% и на 224 грамма по сравнению с весом до праздников. Значит, вес Кота после диеты будет составлять:
$$1.2x-0.2\cdot 1.2x=1.2x-0.24x=0.96x\text{граммов.}$$

Также известно, что вес Кота после диеты стал на 224 грамма меньше, чем вес до праздников:
$$0.96x=x-224.$$

Теперь решим уравнение:
$$0.96x=x-224.$$ Переходим к нормальной форме:
$$0.96x-x=-224,$$ $$-0.04x=-224.$$ Делим обе стороны на -0.04:
$$x=\frac{224}{0.04}=5600\text{граммов.}$$

Переведем в килограммы:
$$x=5.6\text{кг.}$$

Таким образом, Кот в сапогах весил до новогодних праздников 5.6 кг.